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一、解答题

1． 设函数项级数

（1）证明此级数在（2）求其和函数.

【答案】（1）对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知, 但由于收敛.

（2）设由于级数的通项出. 因此, 如果级数

但由（1）知,

在在

,

而

是以

为公比的几何级数, 其和可以求

在

上收敛.

,

所以级数

在

上不一致

,

.

上收敛但不一致收敛;

上满足逐项求导定理的条件, 那么S （x ）便可求出. 上不一致收敛, 也就是说

在

上考虑上述问题

. 显然V n （x ）在

上有连续上不满足

逐项求导定理的条件. 为了克服这—困难, 我们在缩小的区间

, 使

的导数. 由

, 记

知,

是可得

特别地,

. 由x 0的任意性,

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在上一致收敛. 因此,

在上可逐项求导, 于

, 都有

2． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）

而

收敛, 所以原级数绝对收敛.

【答案】（1）因为

（2）因为

（3）根据p 的取值范围讨论. 设

时, 因p>0时,

因

发散, 即原级数在

时, 记

则当x 充分大时

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在, 故原级数发散.

而此时

收敛, 故p>l时原级数绝对收敛,

且

时

时不是绝对收敛

. 则

从而当n 充分大时数列

单调递减, 又

故由莱布尼茨判

别法知原级数收敛且为条件收敛.

（4

）记

列且

（5）因数列以原级数发散.

（6）记

因

故可知:

所以

所以（7）记

（8）记

为单凋递减数列且

因则

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因

而发散, 故原级数不是绝对收敛.

又因为单调递减数

故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛. . 单调递减且

所以级数

收敛, 又

发散, 且

所

发散, 即原级数不是绝对收敛. 又记

时,

为单调减函数, 又

由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.

故原级数绝对收敛.

故当当

时原级数绝对收敛；

时,

从而原级数发散.

3． 已知g 为可导函数, a 为实数, 试求下列函数f 的导数:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）（4）

4． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证为了确定此,

又因为g （x ）在（3）令

则

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； ； .

;

. 则

内严格递增.

时, 则

, 即,

, 则内严格递减.

时,

, 故当

时

.

因

则

的符号, 令于是, g （x ）在连续, 所以当

. 故

于是在

内, f （x ）严

.

, 令令

又因f （x ）在x=0连续, 所以当格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

因此h （x ）

在内严格递减. 又因h （x ）在x=0连续,

故