当前位置：问答库＞考研试题

一、解答下列各题

1． 设级数

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

2． 利用条件极值方法证明不等式

【答案】取目标函数拉格朗日函数为

, 约束条件为

.

对L 求偏导数, 令它们等于0, 则有

解方程组易得稳定点是

为了判断并把目标函数

看作

是否为所求条件极值, 可把条件与

的复合函数F （X , y ）. 于是

第 2 页，共 44 页

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

则存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

看作隐函数

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

当

时,

由此可得稳定点为极大值点, 即有不等式

即

3．

设

是凸域

,

, 且满足

t

证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:

根据条件

故有

.

2

上式消去t 并令t →0, 即得

是半正定的.

.

1为任一向量, 当t 充分小时, 点

这表明矩阵

4． 证明下列结论:

是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的.

（1）设f （

u , v）具有二阶连续偏导数, 且满足方程

也满足方程则

【答案】（1）令

, 则z=f （u , v ）, 于是

（2）

设z=f

（x

, y

）是二阶连续可微函数

,

又有关系式

, 则

, a 是不为零的常数,

第 3 页，共 44

页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

故

（2）由

知

,

. 于是

故

5． 证明:若f （x

）在有限开区间

.

f x ）【答案】补充定义（在a , b 的值如下:上满足罗尔中值定理的条件, 于是存在一点

6． 证明:若

【答案】由于当

时

即且

. 则因此, 当

存在正整数N , 使得

时, 有

又因为

由迫敛性

, 使得

.

. 则

在闭区间

内可导, 且

, 则至少存在一点

,

使

根据数列极限的保号性知, 对任意的

二、计算下列各题

7． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?

【答案】设底的半径为r , 则

, 由

, 容器的高

, 又因为

, 故

. , 容器的表面积

于是故

8． 计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.

【答案】设S 1, S 2, S3分别为S 的上、下底面和圆柱侧面, 则

, 其中S 是曲面

及两个平面z=R, z=-R （R>0）

得

,

,

是S （r ）的极小值点, 此时

即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.

第 4 页，共 44 页