2018年中国石油大学(华东)理学院704数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:
（1）（2）
【答案】（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值
（2）由D 的体积为
, 令
, 得
, 所以
所以平均值
2． 试求心形线
【答案】所求平均值为
3． 延拓下列函数, 使其在R 上连续:
【答案】（1） f （x ）在x=2无定义, 由
知x=2为f （x ）的第一类的可去间断点. 令
. 则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续.
,
上各点极径的平均值.
（2）f （x ）在x=0无定义, 而
故x=0是该函数的第一类的可去间断点. 令
则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续. （3）f （x ）在x=0无定义, 而点.
令 4． 求
【答案】该题无论是化成题简化.
因为
所以原极限
5． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式:
（1
）
; （
2
）
.
型还是
型的不定式, 都非常复杂, 但用等价无穷小量替换可使问
, 则F （x ）为f （
x ）在
R 上的延拓
. 且在
R 上连续.
, 所以x=0是该函数的第一类的可去间断
【答案】（1）
因此, （2）
所以,
6． 设是开集.
, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时
, 则
使
则由定理可知
, 因为
是开集f :使开集
则f （D ）且满足, 在D 上由于
所以y 0
【答案】（1）任取可微, 连续;
（2）对于
时, .
为内点, 故f （D ）为开集.
二、证明题
7． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:
（1）（2）【答案】（1）因为
故至少存在一点
, 其中, 其中
, 令使得
,
而由（2）f （x ）在使得故
8． 证明在
【答案】设
上,
, 则
所以所以当
在时, 有
上严格单调递增.
. 即
设所以于是当
在时, 有,
因为
上严格单调递增.
, 即
.
. 又因
, 于是知
. -, 因而
, 令
故
, 故, 则
,
, 则
.
, 所以f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件,
上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是存在