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一、计算题

1． 求曲面

的切平面, 使其垂直于平面

和x －y －2=2.

【答案】设曲面在点知P 0应满足:

解得

故所求切平面为:

2． 应用积分号下的积分法, 求下列积分:

（1）（2）

【答案】（1

）记连续, 于是有

记

则f （x , y ）在[0, 1] × [|a, b]上连续, 所以

作代换

后得到

因此

（2）

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处的切平面垂直于所给两平面, 由曲面在点处切平面方程

因为

故令

, 则g （x ）在[0, 1]上

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3

． 求下列不定积分:

（1）

（2）

（3）

或原式（3）原式==

4． 设

.

； , 故

两边求n 阶导数, 得

即

（2）把x=0代入等式

又因为

5． 计算曲线积分径:

,

（a>0, b>0, c>0为常数）,

中解出

.

, 代入椭球面方程整理

其中L 是从点（a , 0,

0）沿着以下曲线到点（0, 0, c）的路

, 所以

, 故当

时, 原命题成立. 得

,

,

【答案】（1）原式（2）原式

（

1）证明y 满足方程（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立

. 对

.

【答案】方法一 （用参数方程求解）从可得

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令

则

由于

并注意到椭圆心在

处, 所以

故

方法二 （选取z 作为参数）曲线L 的参数方程为

z 从0到c.

于是有

方法三 （用斯托克斯公式求解）由于空间曲线L 不是闭曲线, 所以补充直线段L 1, 使得L+L1

为闭曲线, 其中L 1是从点（0, 0, c）沿直线式, 有

其中S 是由L+ L1围的有限部分.

注意到S 在xOy 平面、yOz 平面以及zOx 平面的投影分别为

’到点（a , 0, 0）的直线段. 由斯托克斯公

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