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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

. 证明:

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

在式（1）中, 若

, 即

再结合式（2）, 问题就解决了. 而对f （x ）在[a, b]上应用拉格朗日中值定理即可知式（3）成立.

2． 设

【答案】

下证

是数列

（反证法）. 假设x 0不是数列因

为

对

, 则一定

有

矛盾. 于是必有

此

,

是数列

的一个聚点.

可以看出, 首先应对f （x ）和

在[a, b]上应用柯西中值定理. 这样就有

,

, 使得

‘试证:数列的一个聚点.

的聚点, 则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列 N ,

当

时,

有

|

这是因为

于

是

的任意一项. 这里

即

.

不妨设. 这

与

的聚点. 矛盾. 因

, 所以存在自然数来说,

或者

或者

如若不然, 则

有

这说明B 不可能是数列

二、解答题

3． 求曲面方程为

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在点处的切平面方程和法线方程.

. 所以切平面

【答案】由于z 在（1, 1）处可微, 从而切平面存在. 因为

即

法线方程为

即

4

． 设函数f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

因

则

5． 求下列极限:

（1

）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）

（3）

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（4）（5） 6． 设

求极限

•

【答案】因为

且

时,

所以当

当

时,

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