2018年北京大学数学科学学院611数学基础考试1(数学分析)之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明不等式.
【答案】由于在恒大于0, 令显然在上连续.
证原不等式可转化为证由于
令则
所以从而
所以
即
在
上单调递增, 所以
即.
从而
单调递增, 故
2． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根.
【答案】设
, 使得
. 首先有.
, 求证:方程f （x ）=0在（a , b ）内如果. 事实上, 由假设
,
其次, 假定存在
证明可得
这与
再在
的假定矛盾.
（不妨设上对
, 使得
用罗尔中值定理,
则存在
）那么根据上述
,
使得
3． 证明下列函数在x=0处不可导:
（1）（2）
【答案】（1）因为（2）先求
, 当
时,
. 于是
再求
, 当
时,
, 于是
因为
, 所以
在
处不可导.
' ；
, 所以
在x=0处不可导.
二、解答题
4． 计算
【答案】解法一:令
则
解法二:令
则
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5． 试问k
为何值时, 下列函数列
（1）
（2）
【答案】（1）由又所以
因此当
k （2）当x=0时, 当则 时, 只要 为就有 上一致收敛. , 则f （ x ）=0, 故的极限函数 . 所以 k ’求 . , 故 在 一致收敛: , 设时取得 则 上的最大值, 从而 【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则 方法二因为