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一、证明题

1． 证明:若

【答案】因为于是当

2． 证明:若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

这个数列

时, 有

则对任一正整数k , 有

所以, 对于任给

所以

存在N , 当

因此

时,

又问逆命题成立否? 有上确界. 令时,

即, 则对任给的又因为a 是

即

则对任给

又因为n 是

的. 因存

为递增（递减）有界数列, 则

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是,

当

时

,

有下确界. 令时,

【答案】（1）若存在N , 使得

上界, 所以对一

切

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

的下界, 所

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列,

例如收敛到它的上确界1, 但

不是单调数列.

二、解答题

3． 若

的收敛半径为

, 且

收敛, 则

也收敛, 且

【答案】因为

所以

因为

,

且收敛

, 所以在上一致收敛, 故在[0, A]上可逐项积分, 因而

因而

收敛,

因此

上一致收敛, 由和函数的连续性知

, 成立,

关于A 在

4． 过点（4, 0）作曲线

（

1）求切线的方程;

（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形

（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积

的切线.

图

【答案】（1

）令

则

过点（4, 0）作曲线

的切线, 切线与x 轴交点的横坐标是

即切点的横坐标是

. 于是切线斜率为

（2）所求的旋转体的体积为

5． 讨论函数

（1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域, 使f 在该邻域内单调？ 【答案】（1）

, 切线方程是

故f （x ）在x=0可导. （2）当

时,

对一切正整数k 有,

x=0的任何邻域内都不单调.

6． 利用归结原则计算下列极限

:

（1）

【答案】（1）令

（2）, 则有

由归结原则,

得

（2）令

, 则

由归结原则, 得

7． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C , 在L 和C 所夹的区域内应用格林公式, 有

其中表示在曲线C 上方向沿顺时针方向. 由此可得

. 因为, 所以

在

, 其中L

是椭圆, 方向沿逆时针方向.