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一、证明题

1． 设

证明:

【答案】构造函数

Taylor 展开可以证明,

所以又因为

所以原命题成立. 2． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

3． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则，

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递增.

成立

，有

发散，则

也发散.

若级数

收敛，则级数也收敛；若发散，则发散.

二、解答题

4． 验证下列积分与路线无关, 并求它们的值:

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）

所以积分与路径无关, 取路径y=x, 得

（2）由关, 取路径

如图, 则

’,

, 则

, 沿在右半平面的路线; , 沿不通过原点的路线;

, 其中,

少为连续函数.

其中P=x=y, Q=y—x ,

.

. 所以积分与路径无

,

图

（3）因

,

,

•故积分与路径无关, 且

（4）当（5）因

,

时,

为连续函数, 则

分别是

和的原函数,

于是无关, 从而

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是全微分, 故积分与路径无关, 且

可见积分与路径

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5． 求由曲线

与直线

,

,

所围图形的面积.

【答案】该平面图形如图所示. 所围图形的面积为

图

6． 求螺旋线

【答案】

则

7． 应用高斯公式计算下列曲面积分:

（1）（2）（3）

的表面,

方向取外侧;

（

4）（5）【答案】（1）（2）

（3）

由柱面坐标变换

原式=

第

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对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L

其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面其中S 是单位球面其中S 为上半球面

.

的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h所围空间区域（

的外侧;

的外侧.

）

.