2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院723数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设正项级数
【答案】因为反之未必成立. 如
2． 给定两正数与
证明:【答案】由又因为因此
,
于是
3． 设
【答案】因使得当令
收敛, 且在
且
在
上一致连续, 证明
所以
为单调递减,
即
收敛，证明收敛，故
亦收敛；试问反之是否成立？
所以收敛，而
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
为单调递增. 并且
对
皆存在且根等.
即
都是有界的. 根据两边取极限,
得
单调有界定理
知
的极限都存在.
设
因而
在比较原则可知级数发散. 与等比中项
一般的令
收敛.
上一致连续, 故对于
时, 有
则由积分第一中值定理得,
使得
因也即取
收敛, 故级数故对上述的则当
收敛, 从而存在
使得当
即
时,
.
时, 因
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故存在惟一的
, 使得.
易见
, 且
4． 设z=f （x , y ）在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数, 且
证明:z=f （x ,
y）的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由
f （x ,
y）在有界闭区域D 上连续, 所以f （x , y ）在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点（x , y ）, 记
由己知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点, 因此f （x , y）的最大值与最小值只能在D 的边界上取到. 5．
设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0
, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
6． 设f 在
内有定义. 证明:若对任何数列
目.
下面证明A=B.作数列
且
由题设知如下,
极限
都存在, 则所都存在.
有这些极限都相等.
【答案】设数列设
时,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 从而 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 则必有 极限 且都相等. 由题设存在. 于是对于的两个子列, 且 于是A=B.由数列的任意性知, 对任何数列 7． 证明下列数列极限存在并求其值: （1）设（2）设（3）时成立, 则再证设解得 或递增, 在等式 因为 由数学归纳法知 . 因此两边取极限得, 由保不等式性可知 & 有上界2. 单调递增. 根据单调有界定理, 极限 即 存在. 有上界2. 当 时, 显然成立, 假设 【答案】（1）先用数学归纳法证数列 （2）首先证明数列是单调的. 所以数列再证明数列要满足两个条件 :①可猜想数列 有上界是递増的. 是有上界的. 先猜想 ② 即, 当 , 再用数学归纳法来证明. 为此 M （M 为某个正整数） 由于 时, 显然 的根为 因此, 假设n=k时成立, 则n=k+l时, 即因为 有上界. 由单调有界定理知, 数列 解得因此 所以 的极限存在. 设 其中 时, 由 由迫敛性得 可知 因此 , 对 两边取极限得 （3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当 二、计算及讨论题
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