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一、证明题

1． 设

为m 个正数, 证明:

【答案】设由于

, 则

因此

2． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

. 亦即

（c 为某一常数）.

证明:存在

【答案】因为

因而取存在

, 使得

, 则函数F 和G 在[a, b]上满足柯西中值定理的条件. 于是

, 使得

3． 设函数f 在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

可知h （x ）为I 上的常量函则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

二、解答题

4． 求三叶形曲线

所围图形的面积.

【答案】如图所7K , 所围图形的面积为

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图

5． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数, 也可能没有原函数.

【答案】

x=0是此函数的第二类间断点, 但它有原函数

另外, 狄利克雷函数D （X ）, 其定义域R 上每一点都是第二类间断点, 但D （x ）无原函数

.

6． 求

a , b

的值,

使椭圆

【答案】

设

,

的周长等于正弦曲线

.

椭圆周长

正弦曲线在

上一段的弧长

令,

7． 设数

在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛.

【答案】级数可记为

由每一个

又x=a及x=b时,

设

为收敛于零的函数列, 故

则

在[a, b] —致有界.

又对每一个

, .

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个

都是[a, b]上的单调函数, 则级

, 则

,

. 若

, 则

,

若

则

在

上一段的长.

,

则椭圆的半焦距

都是[a, b]上的单调函数可得

是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.

8． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）:

（1）

（2）

, 由此可见,

【答案】（1）原式

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由于三个量都非整数

, 从而原式不可积.

（2）原式

由此可见

由于三个量都非整数, 从而原式不可积. 9． 已知

求

【答案】令

则

所以