2018年河北工业大学理学院810数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）
（1）设（2）设
则
则
2． 设f 在[a, b]上有界
,
则f （x ）在[a, b]上可积 【答案】设在N ,
当n>N时,
,
上可积, 因此, 存在
, 从而f （x ）在
上的分割T%使
把
与合并, 就构成[a, b]的一个分割T , 则
（这时为f （x
）在
3． 设
（1）因为（2）同理
第 2 页，共 31 页
证明:
（2）
【答案】可以看出交换a , b的位置, 这两个等式两边的值都不变. 不妨假设
. 证明:若f （x ）在[a, b]上只有
在
上的振幅为,
, 取
因
为其间断点,
, 所以存
上至多只有有限个间断点, 由定理知f （x
）在
上的振幅）. 故由可积准则知, f （x ）在[a, b]上可积.
证明:
记（2）所以
【答案】（1）由题意知
4． 设函数f （x ）在闭区间[a, A]上连续, 证明:
【答案】因为
当
时.
所以
5． 设函数f 在连续. 且有
若若综上, 存在
6． 设f （x ）在
（1）若
, 则
, 使得, 则取
或
, 即有
.
使得
, 即
. 由根的存在性定理知, 存在
.
上连续, 且
. 证明:存在点. 由f （x ）在
, 使得上连续可知F （x ）在
. 上也
【答案】作辅助函数
上连续, 0 （2）若收敛, 则 【答案】（1） 其中 在 及 与之间, 在a 与b 之间, 令知 , 则, 由f （x ）的连续性 第 3 页，共 31 页 专注考研专业课 13年，提供海量考研优质文档！ （ 2） , 类似于（1）的方法有 其中在与 之间, 令 则 , 由f （x ）的连续性及 收敛有 7． 证明:若二元函数f 在点上连续. 【答案】由内成立, 由于 其中 所以对任意的正数, 存在 故f 在U （P ）内连续. 当 时, 有 在U （P ）内有界, 设此邻域为 存在M>0, 使 在 1 的某邻域U （P ）内的偏导函数与 有界, 则f 在U （P ） 二、解答题 8． 求下列函数的极值: 【答案】（1）由 , 即 , 得f （x ）的稳定点为 , . 和 , 因为 , , , , 由极值的第三充分条件知 , f （x ）在 x=0处不取极值. 因为由极值的第二充分条件知, f （x ）在（2） 处取极大值, 极大值为 由 ； 第 4 页，共 31 页 得稳定点为. 因. 故x=l是f （x ）的极大值点, 极大值为
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