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一、证明题

1． 证明:若

【答案】因为于是当

2． 证明:对连续函数f （x ）有

【答案】令

由于

所以

3． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

时, 有

则对任一正整数k , 有

所以, 对于任给

所以

存在N , 当

因此

时,

二、解答题

4． 在上展开f （x ） =x+cosx为余弦级数.

上的偶函数,

【答案】将f （x ） =x+cosx延拓为则

,

由收敛定理, 对

,

在点

处, 其傅里叶级数收敛于

5． 不求出定积分的值, 比较下列各对定积分的大小:

（1）

（2

）

, 根据积分不等式有

, 即.

, 且除x=0处处有

, 所以与（1）类似, 有

6． 利用定积分求极限:

（1）（2）（3）（4）

;

.

【答案】（1）显然在[0, 1]上, 因故由（2）因在

,

除X=0, 1处处满足f

,

从而

【答案】（1）把极限化为某一积分的极限, 以便用定积分来计算, 为此作如下变形:

这是函数

,

而

在区间[0, 1]上的一个积分和的极限. 这里所取的是等分分割,

恒为小区间

的右端点,

所以有

（2）

不难看出, 其中的和式是函数

在区间[0, 1]上的一个积分和. 所以有

（3）

（4）

7． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

所以F （y ）在y=0处不连续, 当

F （y ）连续.

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,

时在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当. 时, 函数