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一、证明题

1． [1]设随机变量

[2]

设

【答案】利用变换

，求

，证明：

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令

2． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

即可得结论.

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明

由此可得到

因而

这就证明了的UMVUE.

3． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知

,

理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

4． 设

为来自指数分布

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

则似然比统计量为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

与

诸

5． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

间的独立性，在原假

设

成立下，有如下抽样分布

：

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

6 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

7． 设

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和