2017年闽南师范大学数学与统计学院913概率论与数理统计之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
2． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
,
样本方差分别为
（III
）由于
3． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
证明:
由
得
4． 设
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
其中
和
其中验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
都已知. 则给出样本
即
其中
后c 的后验分布密度函数
因此，
所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
这说明
证明完成.
5． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
6． 设
是来自两参数指数分布
的概率分别
是证明
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