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一、计算题

1． 设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率分布为

表

1

求： （I ）

（II ）

【答案】

表2 表

3

（I

）（II

）

故

2． 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为

试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

【答案】记X 为该油站每周的销售量，k 为该油站储油罐的最大储油量. 则由题意知：k 应该满足

这等价于

因此由

中解得

3． 设二维随机变量

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】⑴（2）

（3）

（4）

（5）

4． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间, 如果

独立同分布,

且

（千升）. 所以可取k=46（千升）即可将一周内断油的概率控制在5%以下.

的联合分布函数为

, 试用

表示下列概率:

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了；

（2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意,

系统持续工作的时间为

而当t>0时

这是参数为

的指数分布, 所以

所以, 当t>0时

所以系统持续工作的平均时间为

5． 掷一颗骰子60次，结果如：

表

试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.

【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为的假设为知，

检验的统计量为

由于

未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均

匀的. 此处检验的p 值为

6． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望.

【答案】解法一:分别记此n

个点

（0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求

而.

和

的密度函数分别为

所以, 当t<0时,

密度函数

（2）根据题意, 系统持续工作的时间为

则要检验

则查表

这里k=6，

检验拒绝域为若取

则相互独立, 且都服从区间