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一、证明题

1． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

2． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）

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时, 有

时,

（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

4． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

【答案】对任意的即

5． 设

结论得证.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

从而

的有效性最差.

则

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由此可推测。当用样本的凸组合估计总体均值时，样本均值是最有效的。

6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

7． 设X 为非负随机变量，a>0.若

【答案】因为当a>0时，

8． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

证明

则

存在，证明：对任意的x>0，有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

也服从

从而

即A ，B 相容.

二、计算题

9． 已知随机变量X 的密度函数为

试求随机变量Y=g（X ）的概率分布，其中

【答案】因为p （x ）为偶函数，所以可得所以Y 的分布列为

表

10．在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时问后观察他们在一个月内的推销额，数据如下：

表

1

由此得

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