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一、证明题

1． 如果

【答案】记因为令而

由M 的定义即可知当

_时, 有

因而

, 由的任意性知

结论得证.

2． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数

.

【答案】因为当

时, 有

又因为当0

所以

有相同的边际密度函数.

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, 试证:

与X 的分布函数分别为

, 故存在, 因为

, 使当, 故存在

和时, 有

使当

, 时, 有

. 对任给的

取足够大的

和

使

是F （x ）的连续点, 且

, 所以有而对于

3． 设是参数的无偏估计，且有

【答案】由方差的定义可知

，

因而

试证不是的无偏估计.

由于

是参数的无偏估计，

即

所以不是的无偏估计.

4． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

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是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

它们的关系为

即说明了由原始数据和变换后

5． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

上式移项即得结论.

6． 设由

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

7． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

的特征函数, 由唯一性定理知

8． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

, 且X

二、计算题

9． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

则变换后的函数形式为v=lna+bu.

问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给

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