当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1．

设

与

中一个是收敛数列, 另一个是发散数列.

证明

是收敛数列, 是收敛数列, 因此

,

是发散数列,

又问

假设

和是收是发时,

是否必为发散数列? 【答案】用反证法. 不妨设敛数列,

由于散数列. 同理可证

在题设条件下

,

与时,

, 并且

是发散数列. 令

是收敛数列. 这与题设矛盾,

故

也是发散数列. 和

都可能是发散的, 也可能是收敛的. 例如,

当

时

,

与

都是发散的.

而当

都是收敛的.

当发散,

收敛.

2． 设S 为光滑闭曲面, V 为S 所围的区域, 函数u （x , y , z ）在V 上与S 上具有二阶连续偏导, 函数w （x , y , z ）偏导连续, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由高斯公式:

令P=uw, 有

即

（2）由（1）式用

代替u 可得

类似地可以得出:

三式相加, 再由第一、二型曲面积分关系可得

第 2 页，共 25 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

3． 设f :

是连续映射, 若对R 中的任何有界闭集K ,

, 并设

2

2

2

均有界. 证明:

2

是闭集.

. 记

【答案】任取点列,

欲证f （R ）是闭集

, 只需证明

, 使得,

即可.

事实上, 由f 是R

到R2的映射知

, 对每一个Q n , 相应地存在

显然它是有界闭集. 由

由已知条件, 收敛子列

再由

满足

及f 的连续性,

令|可知, .

, 当

n>N

时,

, 相应地

存在.

是有界集, 所以

. ,

可得

是有界点列. 由致密性定理,

.

注意到

, 故

二、解答题

4． 计算积分

, 其中D 是x=0, y=l, y=x围成的区域.

【答案】由题意知, 所求的积分为

5． 试分别举出符合下列要求的函数f :

（1）

【答案】（1）令（2）令

, 则（2）

不存在. 则:不存在.

而

于是

6． 周长一定的等腰三角形中

, 腰与底成何比例时, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】设周长为,

腰长为X

, 底长为2y , 则有

于是, 旋转体体积为

由此推出

第 3 页，共 25 页

, 即. 等腰三角形绕底边旋

, 底面半径为

转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高为

, 及. 即腰与底的比为时, 旋转体的体积最大.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

7． 计算下列三重积分:

（1）（2）（3）

, 其中

, 其中

, 其中

及

; （

）所围区域;

, z=0和x=h所围区域.

【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以

（2）作变换于是

I

（3）作变换区域变为:

, 即, 从而

8． 设为正实数, 确定使A 的范围（要叙述过程）.

【答案】当当由

上有界可知, 尽管

在

不一致连续. 当

时, 取

,

时,

在

事实上,

当

时, X 显然在时, 因为

上一致连续.

上一致连续即可.

上不一致连续.

在[0, 1]上一致连续,

所以只要证明它在在

上一致连续的的范围以及使在

不一致连续的

, 则

,

, 则区域变为:

,

, 且

, 但是

第 4 页，共 25 页