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一、证明题

1． 设f （x ）在

证明:【答案】

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

2． 设二元函数

证明:对任意

【答案】应用微分中值定理, 有

其中介于x 1与x 2之间

,

介于

3． 证明:若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量, 则方向.

【答案】令（n , x ）, （l , n ）, （l , x ）分别表示外法线与x 轴正向, l 与外法线n 以及l 与x 轴正向的夹角, 则有:

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上二次可微, 且

在x 与x-h 之间

可得

在区域

成立

.

上可微, 且对

, 有

与之间.

其中n 为曲线L 的外法线

由于

与

为常数, 且

则由格林公式

二、解答题

4． 设f （x ）在

（1）

上连续, 满足: 时, f （x ） >0;

. 由于f （x ）在S 上连续, 根据连续函数的性质, f （x

）

, 那么

或

5． 计算积分

【答案】令

.

6．

应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:

（1）（2）（3）

【答案】（1）记

时

,

故

（2）因判别法知原级数收敛.

, 故

从而级数

sinnr 的部分和数列

从而级数收敛.

（3）注意到数列

单调递减且

故只需考察级数

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（2）对任意x 和正常数c , f （cx ） =cf （x ）. 求证:存在a>0, b>0, 使得【答案】考虑有界闭集若记

,

必在S 上的x 1和x 2点分别取到它在S 上的最大值f （x 1）

和最小值f （x 2）.

, 所以

.

则

又

故

时

,

收敛, 由阿贝尔

单调且有界, 因此数列

关于n

单调有界. 又级数

即S n 有界. 又

时, 数列单调递减且由狄利克雷判别法知原

的部分和数列

即级数 7．

求

【答案】因为

所以

8．

求下列幂级数的收敛半径, 并讨论区间端点的收敛性:

【答案】（1）由

, 得R=1, 或由

在端点z=1处, 级数为

. 因为

, 使得

又

, 所以在端点x=1处原级数收敛.

. 因为

所以在端点x=﹣1处原级数绝对收敛. （2）

. 在端点x=e处, 级数为

因为

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的部分和数列有界, 由狄利克雷判别法知原级数收敛.

在端点x=﹣1处, 级数为