2018年青岛大学数学与统计学院880数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设
【答案】因为
求所以
2． 试将下列积分用欧拉积分表示, 并指出参量的取值范围:
【答案】（1）（2）
3． 求下列不定积分:
（1）
（2）
（3）
或原式（3）原式==
4． 计算第一型曲线积分
【答案】方法一 写出曲线的参数方程:
因为
所以
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由
由p+l>0得p>﹣1.
和得和.
【答案】（1）原式（2）原式
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方法二 由对称性可知, 只需考虑沿上半圆周
的积分, 这时
所以
5
．
设
【答案】由’
, 其中z=f（x , y ）由方程
所确定的隐函数求
故
6． 半径为r 的球体沉入水中, 其比重与水相同. 试问将球体从水中捞出需作多少功？
【答案】如图所示, 取一水平层的微元, 对此微元需作功
及
所确定的隐函数z=f（
x ,
y ）得
.
图
第
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7． 已知
【答案】令
则
求
所以
8． （1）设
为正项级数, 且
能否断定, 能否断定级数
收敛？
不绝对收敛, 但可能条件收敛？
使得
发散.
从而
故
发散. , 则存在
满足条件, 但若取
, 可知
收敛, 但对任意的
（3）不一定. 如取
（2）对于级数（3）设
为收敛的正项级数, 能否存在一个正数
,
则且
但
【答案】（1）不能. 如取（2）不能. 由题意知
二、证明题
9． 若
（1）
, 级数
发散,
, 证明: •收敛. （固定）, 取适当大, 可使
. 由于, 于是有
由柯西准则知, 级数（2）因为
, 所以
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发散; （2）
【答案】（1）用柯西准则 取
所以对固定的N , 存在
趋向于
,
发散.
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