当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设S 为光滑闭曲面, V 为S 所围的区域, 函数u （x , y , z ）在V 上与S 上具有二阶连续偏导, 函数w （x , y , z ）偏导连续, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由高斯公式:

令P=uw, 有

即

（2）由（1）式用

代替u 可得

类似地可以得出:

三式相加, 再由第一、二型曲面积分关系可得

2． 试证明

【答案】数集为对于任意一个正数M , 令

3． 证明

【答案】对任意的数

第 2 页，共 23 页

有上界而无下界. 对任意的

而

由不等式则当

得时, 有

限制时

, , 即

故. 当

时, 函

其

中取

故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因

在上是严格减函数.

于是当

二、解答题

4． 求

【答案】方法一令通过计算易知

, =-1.注意到

于是有

由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :即f （x , y）在有界闭域:方法二:先固定x , 求显然

于是

故

又由

方法三 用配方法

.

且f （1, 0） =-1即最小值为-1, 无最大值.

5． （1）设

（a0且

）, 求

;

‘可知f （x , y ）在R 上无最大值.

2

在全平面上的最大最小值.

,

, 可得驻点（1, 0）.

, 所以（1, 0）为极小点, 极小值为f （1, 0）

, 当或时

上的最小值-1必是f （x , y ）在全平面上的最小值.

. 将f （x , y ）改写为:

（2）设f （x ）是三次多项式, 且有

求

.

, 其中为

时的无穷小量.

【答案】（1）由假设可知, 而

,

所以

第 3 页，共 23 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

进而

从而

（2）由已知条件可知, （x-2a

）、（

x-4a ）都是f （x ）的因子, 故可令f （x

）=A（x-2a ）

（x-4a ）（x-B ）, 其中A , B 待定

.

于是有

联立（

1）、（

2）求解得

. 即

,

故

.

6． 求曲线

【答案】

令

, 得时取最大值

. 故

当在点

时,

当

处曲率最大.

时,

, 所以K （:r ）在

上曲率最大的点

.

,

7． 应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）:

（1）（2）

（3）

因

时, 级数收敛, 故原级数的收敛半径R=l.

, 发散, 从而得收敛域为（一1, 1）.

, 在

内逐项求导, 得

第 4 页，共 23 页

【答案】（

1）设又当设

时, 原级数可化为