2018年青岛理工大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设
（1）证明:x=0是极小值点;
（2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 【答案】（1）当（2）因为由导数的定义得
取
则
于是对任意的
, 总存在
, 使得
, 所以f （x ）在极小值点x=0
故f （x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件.
2． 试讨论方程组
在点（1, ﹣1, 2）的附近能否确定形如x=f（x ）, y=g（z ）的隐函数组？ 【答案】令
①F , G 在点（1, ﹣1, 2）的某邻域内连续； ②F （1, ﹣1, 2）=0, G （1, ﹣1, 2）=0;
③④
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时, , 而, 故x=0是f （x ）的极小值点
时,
, 所以f （x ）在x=0连续. 当
处不满足第一充分条件. 又因
则
均在点（1, ﹣1, 2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知, 在点（1, ﹣1, 2）的附近所给方程组能确定形如x=f（z ）, y=g（z ）的隐函数组.
3． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积
.
图
【答案】椭圆柱面的方程为的性质有
, 解得
.. 于是
故所求体积
4． 设
【答案】因为
5． 设
在点
的某邻域内存在且在点
, 所以可微, 则有
【答案】应用中值定理有（对
）
由在
处可微知
所以
同理由
在
处可微得
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. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形
.
从而
6． 确定下列函数的单调区间:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（x ）递减.
（2）f （x ）的定义域为因此在
（3）f （x ）的定义域为在
和
上,
（4）f （x
）的定义域为
上均为单调递增.
.
,
, 导函数为:
递减; 在, f （x ）递减.
,
故
在定义域上恒正, f （x
）在
.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上,
递增;
.
. 故在
上,
. , f （x ）递增在
上,
f
；
二、证明题
7． 设f =f. 证明:对任意正整数n , 存在（x ）在[0, 1]上续, f （0）（1）
【答案】若n=1, 则取连续. 由
f （0）=f（1）知
若若
, 则取不全为0, 则必有两点
中任一点即可;
, 使得
由根的存在定理,
8． 设
, 使得
, 即
.
即可. 若n>1, 令
使得, 则F （x ）在
. 上
证明:（1）. （2）
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