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一、证明题

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续:

（1）（2）【答案】（1）设

-的定义域是

对于任给的

, 限制

得

在其定义域内连续.

（2）f （x ）的定义域是R , 任取由是,

在其定义域内连续.

使得, 则F （x ）在

. 上

.

, 取

, 则当

时,

, 于

知, 对于任给的. 取

, 则当

时,

于是, f （x ）

, 因为f （x ）的图像关于原点对称,

, 由

所以只需对x>0的情形进行证明.

2． 设f =f. 证明:对任意正整数n , 存在（x ）在[0, 1]上续, f （0）（1）

【答案】若n=1, 则取连续. 由

f （0）=f（1）知

若若

, 则取不全为0, 则必有两点即可. 若n>1, 令

中任一点即可;

, 使得

由根的存在定理, , 使得, 即.

3． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在, 且在（0, 0）点可微, 证明:

, 【答案】因为f x , f y 在（0, 0）点可微, 所以两个混合偏导数相等. 由于

, . , 都存在. 下证:

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因此

其中

.

注意到f x 在（0,

0）点可微

, 我们有

和

其中

是（

）→（0, 0）时的无穷小量,

是

时的无穷小量.

令

4． 设

f （X ）在I

,

则

, 故有

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

.

, 则

因此若在一个点列

存在广义极限, 记为L. ,

对g （x ）在

. , 则

, 使得

另一方面, 由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾, 所以

,

上应用拉格朗日中值定理, 存在

. 这表明在

使得

上存

. .

将式（2）、式（

3）两式代入式（1）可得

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5． 己知为发散的正项级数，S n 为其部分和，用柯西收敛原理证明发散.

【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数m>n>N，使得

可以先取n=N+l, 注意到

递增，所以此时有

因为则

所以原命题成立.

6． 证明:

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

由

,

得, 但

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

上不一致连续.

满

足

在[a, b]上一致连续, 但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

递增且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m ，使得

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

二、解答题

7． 在曲线x=t, y=t2, z=t3上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,

【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即

8． 设m , n 正数, 求积分

【答案】设

由分部积分法得

处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有

解之得

或

所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或

的值.