2018年辽宁科技大学理学院611数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 在下列积分中引入新变量u , v 后, 试将它化为累次积分:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由
若其中其中
得
, , 若
则
,
若
.
D 与如图1, 图
2.
图
1
h
图2
于是
（2）由
得
,
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, 于是
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（3
）由于是
2． 导出曲边梯形
.
【答案】区间
绕y 轴旋转所得立体的体积公式为
所对应的柱壳体积
由微元法可知所求体积为
3． 求极限
.
得
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令
显然, f
（x
, y
）在
原极限=
上连续, 由连续性定理, 有
4． 半径为r 的球体沉入水中, 其比重与水相同. 试问将球体从水中捞出需作多少功？
【答案】如图所示, 取一水平层的微元, 对此微元需作功
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图
5． 计算第二型曲线积分
【答案】由题意可令
, 其中L 是从A （0, 1）沿
则
所以积分与路径无关, 选择A 点沿y 轴到原点, 再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而
6． 作函数导法, 得
由
, 可知x=l为垂直渐近线. 又因为
所以有斜渐近线
. 根据表和渐近线, 画出函数图形如图所示.
表
的图形.
由定义可求出
;
当
时, 利用对数求
【答案】
函数的定义域为
到
的一段曲线.
图
二、证明题
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