当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在都

存在.

【答案】（1）

对

, 当取或者

所以f （x ）在（2）时

有有

:

设

故当

, 由柯西收敛准则知

, 定义函数

*

则F （x ）在[a, b]上连续, 从而一致连续, 故f （x ）在（a , b ）内一致连续.

2． 证明:若f （x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n ,

存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但

不收敛, 即

的子列

从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾. 函数

:

及

, 由f （x ）的凸性知

为[0, 1]上的凸函

使

时

存在. 同理

也存在

.

:

对

且

, 则对

,

或者上一致连续.

, 由f （x ）在（a , b ）内一致连续, 则

, 对

, 当

,

设

, 由柯西收敛准则

,

,

时,

. ,

对

有

上连续, 且

存在, 则f （x ）在

上一致连续;

及

（2）设f （x ）在有限开区间（a , b ）内连续, 则f （X ）在（a , b ）内一致连续

又由f （x ）在[a, M+l]上连续, 从而一致连续, 故对上述的

时有

.

当

, 不论哪种情况均有

3． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

所以有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

4．

设f

以为周期且具有二阶连续的导函数, 证明f 的傅里叶级数在上一致收敛于f.

【答案】因f

（X ）是以为周期的具有二阶连续导数的函数, 故f （x ）, f （

x ）可展开成傅里叶级数,

不妨设

要证f （x ）的傅里叶级数在

上一致收敛于, f 只需要证明级数

收敛, 则由定理可知f （x ）的傅里叶级数一致收敛于f 由周期性可得所以

由贝塞尔不等式知级数

收敛, 再由

收敛知

收敛, 所以f 的傅里叶级数在

上一致收敛于f

5． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

1收敛, 进而

因此

为[0, 1]上的凸函数.

.. 及

, 因为函数

为[0, 1]上的凸函数, 所以

所以得

6． 证明:若正项级数

收敛, 且数列

单调,

则

, 存在N

, 当n>N

时, 有

故

从而 又从而

,

故

又由

单调可知

必单调递减（否则级数

发散）, 从而

【答案】因为正项级数收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数

二、解答题

7

． 已知直线运动方程为

动的平均速度及t=4时的瞬时速度.

【答案】

令

, 可求得平均速度分别为

.

即t=4时的瞬时速度为v=50.

8． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

【答案】

设（1）若

为

f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.

内由拉格朗日中值定理有

这与

为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.

为跳跃间断点.

（2）若

为可去间断点.

, 在和x 之间. 而

分别令

=1, 0.1, 0.01, 求从t=4至

这一段时间内运

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有