2018年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性:
（1）（2>（3）
【答案】（1）令
当2m —1>1时收敛. 当
时发散, 所以积分
在m>1时收敛,
时发散.
, D 为全平面;
.
（2）由区域的对称性和被积函数关于x 和y 的奇偶性得
由于
, 当P>1时收敛,
时发散. 所以原式当P>1, q>1时收敛, 其他情况发散.
（3）由条件知
由
, 当
时收敛, 此时原积分也收敛; 当
时积分收敛.
时
发散, 此时原积分
也发散; 所以当时积分发散,
2． 计算下列积分:
（1）（2）（3）（4）【答案】 ⑴
其中其中
其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域; 其中V 是由
y=0, z=0及
所围成的区域.
（2）
（3）积分区域V 如图1
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图 1
（
4）积分区域
V 如图2
图2
3．
求下列幂级数的收敛半径, 并讨论区间端点的收敛性:
【答案】（1）由
, 得R=1, 或由
在端点z=1处, 级数为
. 因为
, 使得
又
, 所以在端点x=1处原级数收敛.
. 因为
在端点x=﹣1处, 级数为
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所以在端点x=﹣1处原级数绝对收敛. （2）
. 在端点x=e处, 级数为
因为
所以级数的一般项不趋于零, 从而在端点x=e处原级数发散. 同理在端点x=﹣e 处, 原级数发散.
4． 求下列函数的导数:
（1）
（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）
存在, y=f（x+y）,
求
, 求y’;
确定, 求
:
, 试用f , f 〃（X ）
;
, 求y’;
, 求y’（0）;
（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）
以及
（7）（8）
【答案】 （1）
,
求
.
表示
若f （x ）存在反函数
, 求及;
（2）对等式两边关于x 求导得
当x=0时, 由原方程解得y=0, 将x=0, y=0代入上式得（3）令u=x+y, 则y=f（U ）,
于是
, 解得
（4）易知对
两边取对数得
.
.