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一、证明题

1． 证明:函数

【答案】因为

又由

在

及

故

上连续, 且有连续的导函数. 在

上一致收敛.

在

上连续.

上连续（n=1, 2, …）, 故

在

上连续可知,

则由定理可知

一致收敛且和函数连续. 设

即f （x ）连续且具有连续的导函数. 2． 设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

连续, 所以当n 足够大的时候

由于的任意性, 所以命题成立. 3． 设

【答案】（1）当

时, 由于

此即

（2）当

时, 由于

用

语言证明:

, 当

时, 有

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令而

4． 设f 在[a, b]上连续,

【答案】设

则

存在

当

时, 有

, 证明:存在

中最小者为

, 使得

, 则有

, 最大者为

若若

理, 可以得知存在

5． 设f 为定义在

因为f 在

对任意的可得,

对任意的

即

若即

或, 则取

对f （x ）在区间（或

）使得

或, 就能满足题中要求. （或

存在的充要条件是f 在

上有上确界. 设使得

上有上界.

则

由f

是增函数

）上应用连续函数的介值性定

上的增函数. 证明:

上的增函数 且对任给的有 ,

故

存在, 设为A , 对

而在, 则对

上,

存在

【答案】设f 为定义在

上有上界

, 由确界原理可知f 在

当, 有

时.

为增函数. 即

. 即

在

, 令

上有上界.

6． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

与也在点x 0连续.

又问:

若或在Ⅰ上连续,

那么f 在Ⅰ上是否

存在

, 使得当

【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给的

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时,

（1）由不等式故（2）由（3）当

知, 由

. 即

在点x 0连续.

在点x 0连续.

, 则

与

为

时,

, 而|f|在x 0连续, 故

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.

二、解答题

7． 若f （x ）在[a, b]上连续, 且

则在（a , b ）内至少有一点使得【答案】不妨设

, 即

由极限的局部保号性知, 从而f （x ）k ;

当取

根据连续函数介值性定理, 对 8． 设

（1）若在某（2）证明:若例如, 取

内有则在某

内有

保不等式性只能从则在0的任一空心邻域

内

（2）令使得当

因为

时, 有

所以

由于

即

同时, 由于

所以存在

使得当

时, 有

取

.

,

, 当

时有, 则

. 时有

, 从而f （X ）

因为f （X ）在

,

上连续, .

, 使得

问是否必有

推出

但

.

? 为什么?

【答案】（1）不一定有

所以存在.

即

则

当时

, 即在空心邻

域内

有