2017年武汉理工大学理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
由②有
为空间的两组基，且
且
所以
，
3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关
【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设线性方程组的解都是线性方程组的解，则（ ）。 【答案】（C ） 【解析】设即证秩 的解空间分别为 则 所以 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设 求（1） A 的所有特征值与对应的特征向量； （2）找出一个可逆矩阵P ，使得A 与一个对角阵相似； （3）应用A 的特征多项式，求【答案】（1）计算可得 所以A 的特征值为 当 时，得特征向量 且A 属于特征值 （2）的全部特征向量为且A 属于特征值当且A 属于 的全体特征向量组为 当 的全部特征向量为 时，得特征向量， 时，得特征向量
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