2017年武汉科技大学理学院601高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
都是4维列向量，且4阶行列式
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设V 是n 维线性空间
（1）证明：（2）证明：
X 和Y 为V 的两个子空间，并且
当且仅当Y 是X 的子空间。
（3）举例说明：存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得
【答案】（1）由维数公式得
又因为
所以有
从而
（2）由（1
）知
所以显见（3）取又令则有且
7． 求矩阵A 的最小多项式，其中
【答案】解法1 A的特征多项式为
的首一因式为
解法2将A 的特征矩阵化为标准形
故A 的最后一个不变因子解法3由
知1是A 的3重根，1的几何重数为：
故其若当标准形为
故最小多项式为
的充要条件是
的充要条件是
命题得证。
则有
考虑到
且
等价于
V 为3维几何空间
由故A 最小多项式为
是其最小多项式.
相关内容
相关标签