2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是n 级幂等阵，且秩为r , 试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由; （2）计算
【答案】 （1）因为
，从而A 有无重根的零化多项式
. 由于
A 相似于对角阵，且特征值只能是1或0. 再由
.
无重根，所以
所以存在可逆阵T , 并有A 的相似标准形为:
其中为r 级单位阵.
（2）由有
2． 在
中，求向量在基
【答案】 （1）令
由此得线性方程组
下的坐标，设 （1
）
可解出，得
（2）令
，由此得线性方程组
可解出，得
3． 设则
中元素均为实数，而且至少有一个不是0, 如果D 的每个元素都等于它的代数余子式.
【答案】记所以有
，，因此
表示D 的转置行列式. 因为D 的每个元素都等于它的代数余子式，
所以
4． V 是
按矩阵加法与数乘矩阵构成的实数域R 上的线性空间, 证明其维数为
表
示
元为1, 而其余元素全为零的nxn 矩
阵
, 有
按定义有
且
构成V 的基.
线性无关, 并且任给
显
然
又由题设，可不妨设所以
因为
【答案】
用
二、证明题
5． 设
都是
的对称矩阵，证明:AB 也对称当且仅当
可交换.
【答案】当A ，B 可交换时，
即AB 为对称阵. 反之，当即
可交换.
都有
时，
6． 证明:对欧氏空间中任意向量
【答案】根据三角形不等式得
（1）
在此不等式中, 将与互换, 又得
但
故
由（1）得
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7． 设
证明:
任意多项式【答案】
设
是一个次数不超过 =1. 对任意多项式那么
由余式的惟一性及
（不等于0
时）的次数，即得
8．
设
设
或
的多项式
，而且
所以根据定理,
用
除所得的余式为
是n 个不同的数，而
是欧氏空间
V 的两个子空间
, 证明
:
【答案】
（1）如果有反之如果
即得
由上知
（2）由（1）因此
则对任一因此
则
故
对任一向量
所以
都有
将
特别地,
对
.
表成
.
或其中
所以