2018年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设明：
（1）当A 实对称时，则是，一阶可逆阵. （2）A 是幂等阵当且仅当
（3）A 是实对称且幂等阵当且仅当
或
.
于是A 有两种满秩分解，从而存在r 阶可逆阵P ，使得
（1）
注意到L 是实行满秩矩阵，则
故LH 是r 阶可逆阵 （2）必要性. 若
分性. 若
则
（3）必要性. 由式（1）得
注意到
于是
充分性. 若
类似可证第二种情况. 2． 设B 是实数域上的一个内积, 使得【答案】（1）
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是秩为，. 的满秩分解，即H 为的列满秩矩阵，L 为的行满秩矩阵，证
【答案】 （1）当A 实对称时，则
则L 行满秩右可消，由H 列满秩左可消，立得充
则且
矩阵, 对任一大于0的常数n , 证明
单位矩阵.
定义了
成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置, E 表示
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（2）
（3）
（4）
由于
上的一个内积, 从而成为欧氏空间.
3． 已知3阶矩阵A 的第一行是
且当当对于
求线性方程组
故，于是于是可得
由于的通解为对于如果
分别就
则
，其中和
线性无关
，
故为任意常数. 进行讨论.
所以
的通解为
为
的一个基础解系，于是
或
时
，时，由
的通解.
又由
不全为零，可知
不全为零，矩阵
（k 为常数），
所以
由上可知,
定义了
【答案】
由于
的基础解系由一个向量组成. 又因为为任意常数.
如果c 不全为0, 所以
则的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为等价于
不妨设
由于
，其中
且a , b ，
是的两个线性无关的解，故的通解为
4． 设K 是一个数域, x 是一个不定元, 给定正整数n , 令
为任意常数.
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关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间, 在此线性空间中定义变换
这里
为多项式
的微商
的全部特征值；
标准形
有
是（2）在
到
的一个线性变换. 中取一组基为
可得
其中设
又因为恒等变换E 在这组基下矩阵为
在这组基下矩阵为B , 则
阶单位阵
（1）证明:D 是一个线性变换； （2）令E 为（3）在【答案】（1）
的恒等变换, 求
内找一组基, 使D 在此组基下矩阵成为
t
此即为
5． 求二次型
【答案】设f 对应的矩阵为A ，则
的秩与符号差.
的全部特征值.
下的矩阵成为
标准形.
（3）由②式知A 是若当块, 故D 在基
于是由
可得A 的特征值为
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