2018年南京航空航天大学理学院814高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是线性空间V 上的双线性函数, 试将
表示成一个对称双线性函数与一个反
对称双线性函数之和, 并证明表示法唯一.
【答案】令
直接验证可知g 是对称双线性函数, h 是反对称双线性函数, 且
下证唯一性. 若
这里
为对称双线性函数,
为反对称双线性函数. 于是
（1）+（2）得
代入式（1）, 得
2．
为阶矩阵, 试求可逆阵P , 使为对角阵
【答案】由
知A 有特征值1 （重）和一1 （k 重）
对
方程组
同解于
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1）
2）
（ （
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解之得一个基础解系
同样,
对
解齐次方程组
可得基础解系
所以取
有
3．
求多项式
【答案】记则
有重根的条件
.
于是
有重根的条件是如果如果此，
那么那么有重根的条件为
第
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，共 36
页
的条件是的条件是
能整除
由此得
因
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4． 已知齐次线性方程组
和
同解，求a , b , c 的值.
【答案】齐次方程组（II ）的未知量个数大于方程的个数，故方程组（II ）有无穷多个解. 因为方程组（I ）与（II ）同解，所以方程组（I ）的系数矩阵的秩小于3.
对方程组（I ）的系数矩阵施以初等行变换，有
从而a=2
此时，方程组（I ）的系数矩阵可化为
故（-1, -1, 1）是方程组（I ）的一个基础解系. 将x 1=-1, x 2=-1, x 3=1代入方程组（II ）可得
当b=1, c=2时，对方程组（II ）的系数矩阵施以初等行变换，有
故方程组（I ）与方程组（II ）同解. 当
时，方程组（II ）的系数矩阵可化为
故方程组（I ）与方程组（II ）的解不相同.
综上所述，a=2, b=1, c=2时，方程组（I ）与方程组（II ）同解.
5． 设a , b是两个复数, 令
那么【答案】是映射. 若
故是单射.
都是C[x]的子空间, 证明:
, 由
设
则
记
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故
可设
于
是令
那
么