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一、填空题

1． （1）线性方程组

（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令

有解的充分必要条件是_____

矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____

由向量组

线性表示，则

一定_____

（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；

Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；

（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩

（2）

（3）线性相关.

（4）0; 至少有一个不为0. （5）（6）

（7）（8）0； P 【解析】（3）因为

线性相关.

（5）令

那么

（7）因为维（8）取

的一组基为

维

维则

维

可由

线性表出，所以秩

秩

此即

，其中T 为n 级可逆阵.

中，线性变换秩

则维（V 1+ V2）=_____

则D 的特征值是_____，D 的核是_____

D 的特征值全为0, 且（因为常数的导数等于0）.

2． 设

则

之秩S 与

可由

线性表示.

之秩t 的关系是_____.

【答案】

【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以

①

将①式两端分别减去

得

此即 3． 若

可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，

则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4

【解析】在复数域上令则

此即证可由在实数域上, 令

若

. 此即

所以在实数域R 上，有

4． 设矩阵A , 满足

【答案】【解析】因为

故

则

是线性无关的

.

线性表出.

, 其中

在R 上线性关

.

可由

其中E 是单位矩阵，则

，则

线性表出，

________

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二、选择题

5． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

故选C.

6． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

7． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

其中

则PAQ=B

是（

）二次型.

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B