2017年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
2． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
A. 如果B. 如果秩
则则
. 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
秩
未知量个数，
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 证明：【答案】证法 I 故证法II 对 利用等比级数求和公式（首项为 ，公比为 整理后得 7． 设V 为线性空间，dimV=n ， 问 【答案】设易知于是 注意到若这与 8． 设 【答案】因为 9． 设 求（1） A 的所有特征值与对应的特征向量； （2）找出一个可逆矩阵P ，使得A 与一个对角阵相似； 得 是V 的子空间，且 时，上述结论是否成立？ 是 的基 将其扩充成V 的基 设 令 则存在V 的子空间 因而a=0，胡 则结论不成立. 若结论成立，由维数公式 是V 的子空间矛盾. 证明：