2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 用克拉默法则解下列线性方程组.
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】⑴
所以可以应用克拉默法则求解. 又因
所以此线性方程组有惟一解，解为
（2）（3）（4）
2． 设分块矩阵
【答案】由
是方阵
，知，
由注意到两边取迹得
因此 3． 设记为
是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使证明：
在同一基下的矩阵相似.
故
且
又若
则
因此，线性变换的相似关系是等价关系. ②设
在基
下的矩阵为
若
且
又S 在该基下矩阵为C. 则
证明
可得
则称与
相似，
①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中，【答案】①因为再若
则
即
由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射，故
即
4． 设A ，B 为n 阶矩阵，
（2）设
【答案】（1）由假设知A 有零化多项式进而设是A 的特征值，则
证明：
则B 的特征值都是1次单位根.
且
所以A 相似于对角阵.
即A 的特征值均为1次单位根. 此即
且（2）已知
在①式两边左乘A ，右乘B , 并注意
得
则由上面（1）知，B 的特征值都是1次单位根.
5． 设A 是秩为r 的n 阶方阵. C ，使得A=CB，而且BC=E.
【答案】先证充分性. 设A=CB, 其中C , B分别为再证必要性
.
和
矩阵，且BC=Er.则
的充要条件是存在秩为r 的
矩阵B 和秩为r 的
矩阵
所以
（1）A 相似于对角阵，且对角线元素皆为1次单位根；
与
相似.
由上倒推可得
反之，若
可对角化，且其特征值只能是0和1. 于是存在可逆阵T ，使
其中
那么C 是
矩阵，B 是
矩阵，且
6． 设
为两个不全为零的多项式，n 为正整数. 证明：
【答案】①若则显然 _