2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 在
中给出两个基
试求它们各自的对偶基作用在中任意向量【答案】设
与
的对偶基分别是
的表达式. 与
于是
类似可得由已知得
其中
则
于是
类似可得
2． 设
是欧氏空间V 的某
的度量阵为
（1）求W 的标准正交基. （2）求的维数和一组基. 【答案】（1）因为组基.
先正交化. 取
与线性无关，所以为W 的一
因为
所以
再单位化得W 的标准正交基
（2）因为令
则
3． 设
构成V 的正交基. 因此有
为
的一组基.
是
：的对偶基，
令
所以
又显见
构成V 的基，且
正交.
是数域P 上线性空间V 的一组基，
（1）证明：是V 的基； （2）求【答案】（1）设
的对偶基，并用
表矛则
为V 的一组基，且A 为基
（2）设
的对偶基为
则
即对再设
则
有
的对偶基.
到的过渡矩阵.
即
4． 设V 是数域P 上全体n 阶方阵构成的线性空间，A 是V 中的一个取定的矩阵，定义V 的线性变换为
证明：（1）（2）设【答案】（1）若（2
）由
取基础解
系令则
也是V 的基. 因为
这里
所以有4个线性无关的特征向量，故可以对角化.
5． 用非退化线性替换把二次型
化成标准形（写出此线性替换）. 【答案】用配方法可得
令
由矩阵单位
是V 的基，则
不可逆.
判断
能否对角化.
则
于是不是单射，故不可逆.
对于特征值
解方程组取基础解
系
显然不可逆. 若
则A
的特征值为
对于特征
值
解方程
组
即作非退化线性替换
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