2017年南京师范大学数学科学学院846高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是反对称矩阵, 证明:A 合同于矩阵，
【答案】设
我们用数学归纳法来证明结论. 当n=l时，结论显然成立. 当n=2时，
（1）如果（2）如果
结论成立. 则
结论也成立.
假设结论对级数小于n 的反对称矩阵都成立. 对于n 级反对称矩阵A. 可分两种情形. （1）
此时
其中列两列交
换，A 与下列矩阵合同
是一个n-l 级对称矩阵.
不全为0, 不妨设
那么经过第2, 第i 行两行交换及第2、第i
（2）设
其中
是一个n-2级对称矩阵，再用类似n=2的方法可将
根据归纳法假设
合同于形如
化为1，而使A 与下列矩阵合同
的矩阵，利用分块乘法易证A 也与一个这种形式的矩阵合同，完成了归纳法.
2． 设n 阶行列式
求D 展开式的正项总数.
【答案】由于D 中元素都是±1，因此D 的展开式n! 项中，每一项不是1就是-1, 设展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有
由
得
下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得
将④代入③得
3． 欧氏空间
证明： （1）（2）如果
V 的线性变
换
称为反对称的，如果对任意
的
为反对称的充分必要条件是，
是反对称线性变换
在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；
也是.
的不变子空间，则
【答案】（1）设于是
是V 的一组标准正交基，再设
所以即
为反对称变换的充分必要条件是
在标准正交基下的矩阵是反对称的.
对于
中任一向量都有
因为
是
的不变子空间，所以
故
也是
4． 设
的不变子空间.
于是
（2）设
为复数域上全体n 元向量作成的集合.
作成实数域上2n 维空间，并且
①证明：
为其一基（i 是虚单位）. ②求
中向量
在此基下的坐标.
使
则得故又显然（请留意
②故
在基
从而
线性无关.
中每个向量都可由是复数域上的n , 维空间）.
，则显然
均为实数）
之下的坐标为
线性表示，因此它是
的一基，
的维数是2n
【答案】
作成实数域上线性空间显然. 又若有实数