当前位置：问答库＞考研试题

一、填空题

1． 设

【答案】1 【解析】因为

2． 设A 是n 阶实可逆矩阵，则

【答案】【解析】取

则P 为可逆矩阵，且

可见 3． 若

则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4

【解析】在复数域上令则

此即证可由在实数域上, 令

若

. 此即

, 其中

在R 上线性关.

第 2 页，共 33 页

，则=_____.

的正惯性指数是_____, 符号差是_____.

的正、负惯性指数均为符号差为0.

则

是线性无关的

.

线性表出.

，则

可由

所以在实数域R 上，有

4． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足

则B=_______ 【答案】【解析】

又因为

线性表出，

已知

可逆. 所以

二、证明题

5． 设

①方阵②若【答案】①设

若故必有反之, 若于是②因为

故若f （A ）满秩, 则 6． 证明

【答案】记

不能有重根.

则

即有

因此

根据定理推论知

不能有重根. 可设

这与

可逆, 则必有

即

可逆, 从而

则存在多项式

从而

使

可逆. 又因为

故

是A 的最小多项式矛盾. 因此,

必为降秩方阵.

但

是A 的最小多项式,

则

为降秩方阵.

则

为方阵A 的最小多项式,

为任一次数大于零的多项式. 证明:

三、分析计算题

第 3 页，共 33 页

7． 讨论取什么值时，方程组

有解，并求解. 【答案】系数行列式（1）当

（2）当

且

所以

时，方程组有惟一解，且其惟一解为

时，原方程组变为

此时方程组无解.

（3）当

时，原方程组为

此时，方程组也无解.

8． 计算行列式

【答案】解法1第行都乘一1加到第1行，得

解法2先从第列提出公因子，然后各列都乘-1加到第一列，即

9． 设V 是n 维欧氏空间, 内积记为

证明:

【答案】证法

1

则

, 且

, 使得

第 4 页，共 33 页

, 又设T 是V 的一个正交变换, 记

.

, 所以