2018年北方民族大学概率论与数理统计822高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
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则（ ）.
则A=（ ）.
【答案】C 【解析】因为
4． 设A 、B 为满足
1
所以
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）.
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
二、分析计算题
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6． 设是数域P 上线性空间V 的线性变换, 且
（1）
（2）
（3）如果是V
的线性变换,
且【答案】
（1）所以故（2）
, 且
从而
故
因为
则
于是
.
证明:
都是的不变子空间, 则
.
反之, 因为
所以
（3
）先证事实上,
于是
由（2）可设
注意到则
是于是
故
7． 设T 是数域K 上线性空间V 的线性变换.
证明:
①若
是T 的分别属于特征值
且
则
于是由（1）得
但属于不同特征值的特征向量线性无关, 故
矛盾.
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有
（1）
则
于是
注意到
是
子空间,
子空间, 则
的特征向量且
故
则不是T 的特征向量；
②T 是数乘变换【答案】①因为若
V 中每个非零向量都是T 的特征向量.
（1）
是T 的特征向量, 相应特征值为