2018年东南大学经济管理学院933高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 为n 阶半正定阵，B 为n 阶正定阵，证明：
【答案】由假设知当其中
设C 的n 个特征值为
的n 个特征值为由①知
2． 设
即证
表示成一个对称双线性函数与一个反
时，
当
由C 半正定，因此至少有一个
其中
由②有
不妨设
那么
正定阵，
时，秩
，B 正定，有存在可逆阵P ，使
且等成立当且仅当
半正定，B 正定，由第413题有
是线性空间V 上的双线性函数, 试将
对称双线性函数之和, 并证明表示法唯一.
【答案】令
直接验证可知g 是对称双线性函数, h 是反对称双线性函数, 且
下证唯一性. 若
（1）
这里
为对称双线性函数,
为反对称双线性函数. 于是
（2）
（1）+（2）得
代入式（1）, 得
3． 试求满足
【答案】设
的一切二阶方阵A.
则由
可得
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由（2）得’于是得A 为
若
则由（1）得
b
，c 为任意数；
若
4．
求多项式
【答案】记则
于是
有重根的条件是
如果
如果此，
那么那么有重根的条件为
的条件是的条件是
能整除
由此得
因
则
由（1）又得
有重根的条件
.
故
或
即此时
或
E.
5． 设线性方程组（1）的一个基础解系为
写出方程组
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的通解，并说明理由.
【答案】因为方程（1）的基础解系含n 个向量，
所以其系数矩阵
又令
有
即的列向量是线性方程组
由于线性方程组（2
）的基础解系含有的列向量组
是线性方程组（2）的一个基础解系，故（2）的通解为
为任意常数.
6．
设程组
X 是未知量是数域K 上的n 阶方阵，和
（1）方程组（2）如果（3）如果可惟一地表示成
所以另一方面，方程组
（2
）因
因此齐次方程组
（3
）设
所以
又
和所以
必有非零解.
的解空间分别为
的和是直和，故
所以
从而有
所证结论成
立.
7． 设A 为方阵，I 为单位矩阵，且
（1）证明
可逆.
【答案】（1）证明由（2）由题设得
又由
得A 的特征根A 满足
的秩
因此
所以
则的解向量.
且由题设可知
个向量，而
所构成的矩阵. 已知齐次线性方
证明：
分别有那么和
这里
个线性无关的解向量，
这里
必有非零解；
无公共的非零解向量，且），分别是
和
而
至少有个线性无关的解向量；
那么
的解向量.
中任一向量
都
【答案】（1）由题设
，
个线性无关的解向量. 故所证结论成立.
则据题设
，
（2）求满足下列方程的方阵
X.
得
所以
可逆.