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一、选择题

1． 设

则由基A.

是3维向量空间

到基

的一组基,

的过渡矩阵为（ ）.

B.

C.

D. 【答案】A

2． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于

则

【解析】方法1用排除法令这时方法2

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

则

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所以当方法3设

对应的矩阵为A ，则

时，f 为正定二次型.

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

，即

时，二次型可化为

所以f 为正定的.

3． 二次型

A. 正定 B. 不定

C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

则当

是（

）二次型.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B.

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4． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设

由于性相关. 又由方法2:设考虑到

即

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

5． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.

时，

由

，用

使

则（ ）.

知

，

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

所以有

所以有

可推得AB 的第一列

并记A 各列依次为

从而

线

由于

不妨

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

二、分析计算题

6． 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间. 证明:

①对V 中任意向量在中都存在唯一的向量使

（即

②若【答案】

则

为其一标准正交

是臼在W 上的正射影）;

是子空间显然（或由定理）. 又因为W 是有限维, 设