2018年哈尔滨工业大学理学院831高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设
则
之秩S 与
可由
线性表示.
之秩t 的关系是_____.
【答案】
【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以
①
将①式两端分别减去
得
此即可由
2． （1）线性方程组
（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令
线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，有解的充分必要条件是_____
矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____
由向量组
线性表示，则
一定_____
（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；
Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；
（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩
（2）
（3）线性相关.
（4）0; 至少有一个不为0. （5）（6）
，其中T 为n 级可逆阵.
第 2 页，共 37 页
则维（V 1+ V2）=_____
则D 的特征值是_____，D 的核是_____
中，线性变换秩
（7）（8）0； P
可由那么
线性表出，所以秩
秩
此即
【解析】（3）因为
线性相关.
（5）令
（7）因为维（8）取
的一组基为
维
维则
维
D 的特征值全为0, 且
3． 若二次型
正定，则t 的取值范围是._____ 【答案】
（因为常数的导数等于0）.
【解析】设f 对应的矩阵为A ，则
它的三个顺序主子式为
当 4． 若
时，即
时,
为正定二次型-
则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4
【解析】在复数域上令则
此即证可由
线性表出.
第 3 页，共 37 页
则
是线性无关的
.
在实数域上, 令
若
. 此即
所以在实数域R 上，有
, 其中
在R 上线性关
.
可由
线性表出，
，则
二、选择题
5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B. 6． 设是非齐次线性方程组
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
不一定线性无关. 而
第 4 页，共 37 页