2017年西北师范大学教育学院636数学教育综合之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
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线性无关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
考虑到即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型. 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 【答案】D 【解析】 则线性方程组（ ）• 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 记 A. B. 则（ ）. 第 3 页，共 40 页 C. D. 【答案】B 【解析】由已知，有 于是 二、分析计算题 6． 设 所得的商及佘式分别为 所得的商及余式为何？ 所得的商及余式为何？ 所得的商为 【答案】①设则 的充要条件为何？ 或且 这表明，fh 除以gh 所得的商不变，而余式为rh. ②由（6）得仍为 次. 因为由（6）得 所得的商为 则余式必为 反之若上式成立. 则结论显然. 7． 设P 是一个数域，意 证明:（1）对于（2 ）对任意 理想， 且 是 的最大公因式. ， 取 则结论成立. 若 取I 中次数最低的首一多项式为 【答案】（1 ）若 是P 上的一元多项式环. 称 有 中任意理想I , 存在 使得对于任意 是 的 的非空子集I 为 的理想，如果对任 故必 ③其充要条件为： 故可知： 除以 所得的商为 而余式 次. 又 为任一非零多项式. 问： 第 4 页，共 40 页
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