2017年西南交通大学数学学院875高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是
3． 设线性方程组
的一个特解，所以选C.
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
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都是4维列向量，且4阶行列式
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
的解都是线性方程组
的解空间分别为
【答案】（C ） 【解析】设
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 6．
设
【答案】由韦达定理得
秩
未知量个数，
二、分析计算题
是多项
式
的根
，
试
求
而由牛顿公式得
即
而
所以有
7．
设
是欧氏空间V 的线性变换
，
是V 的一个变换，
且
都
有
证明：（1）是V 的线性变换； （2）的值域【答案】（1）
等于的核
的正交补 由题设可得
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由的任意性知
同理，所以
由式（1）、式（2）得t 是V 的线性变换. （2）可等价地证明
有
所以
则有
所以
从而
结合①、②可得 8． 设成立.
【答案】
因
且
求的向量.
9． 解线性方程组
其中a , b, c是互不相等的常数. 【答案】设系数行列式为
则
由克莱姆法则此方程组有惟一解，且由
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有
同时
则已完成证明.
若
否
则
可得
故
则是所要
是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在使
非平凡，
故有
考察
由
矛盾.
同样由
>
则
若有