2017年西南交通大学数学学院875高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故是
2． 设线性方程组
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设
即证秩
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
从而否定A ,
若选
中选三个向量组
所以A 的特征值为3，3，0；而
从而否定C ,
二、分析计算题
6． 若
【答案】令
则
线性无关，从而它也是一组基.
设
是”维性空间V 的一组基，证明：向量组
求a 关于后一组基的坐标.
仍是V
的一组基. 又若a 关于前一组基的坐标为
①由①有
即a 在后一组基下坐标为
7． 设
①若对任意②若对任意③
为两个非零多项式. 证明： 由由对任意
都有相应的
与假设不合，故必
则有
也有（4）式，故的秩不超过线性表出，
的秩. 与它的极大线的极大线性
从而有
必得
必得
使
则则
【答案】①若不然，设
则
但
②若不然，同①所设，可知有
但③若其中
8． 证明：如果向量组
【答案】性无关组等价，无关组可由
能由
反之，若对任意h （x ）都有（4）式，则特别地，
可以由向量组
线性表出，那么线性表出，
可由
的极大线性无关组可由
的极大线性无关组线性表出. 由线性表出的传递性，
的极大线性无关组表出. 这时可利用定理2的推论1, 的极大线性无关组中向量
数的极大线性无关组中向量数，即的秩的秩. 9． 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明：矩阵方程AX=B有解（A ，B ）. 且当r （A ）=r（A ，B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当r 【答案】设 的列向量组. 若AX=B有解 则得 即分别为矩阵A 与B