2017年天津医科大学流行病与卫生统计学614数学综合之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
2． 设
是来自
, 由因子分解定理, 的样本,
是
的充分统计量•
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
3． 设X 为非负连续随机变量，若
（1）（2）
存在，试证明：
相互独立,
且
其雅可比行列式绝对值为
, 联合密度
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利用
得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以
也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
则
4． 如果
【答案】记因为令而
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
5． 设
证明： （1）（2）【答案】（1）由
是
的有效估计； 是知
的无偏估计，但不是有效估计.
为了获得
的元偏估计的C-R 下界，
, 由的任意性知
是来自正态总体
结论得证.
, 所以有
而对于
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
是F （x ）的连续点, 且
的一个样本，若均值μ已知，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
是
的有效估计.
此下界与上述无偏估计的方
差相等，故此
（2）由于
可见，
即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从
而
的元偏估计的C-R 下界
为故
不是
由于无偏估
计
的方
差
的有效估计. 此处
，的无偏估计的C-R
下界与
的方差的比为
该比值常称为无偏估计的效.
6． 设0 【答案】由条件 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 7． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x） ， 由 对上式右端积分作变量变换y=c-t，则 再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则 【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知