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一、证明题

1． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

2． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

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则

这就完成不等式的证明.

3． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

4． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

5． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

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证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

不独立. 和

分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差

的分

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是

与

的泊松分布故

又由泊松分布的可加性知

,

理知

服从参数的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

6． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

7． 设

时, 有

当, 结论得证.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

时, 有

令

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

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则

从而的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。