2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
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2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（一） . 2 2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（二）10 2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（三）17 2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（四）25 2017年天津商业大学理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库（五）33
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一、证明题
1． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】
泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
即的后验分布为共轭先验分布. 2． 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
因此
其中
为X 的分布函数, 类似有
因此
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仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,
即可得这就意味着
证毕.
3． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
得
4． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
5． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
6． 设
不独立.
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
所以
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关. 为证明X
其中
和
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其中验分布.
（2
）当已知时，不妨设c
服从伽玛分布
都已知. 则给出样本
即
其中
后c 的后验分布密度函数
因此，
所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先
这说明
证明完成.
7． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
8． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明
：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
其中为的任一凸
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