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一、证明题

1． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

2． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

即

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【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

由此得

即

3． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

其中

, 而

又

由此,

4． 证明:若与

【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为

, 其中. 由

且v 与W 相互独

容易算得

则当

时有

由此写出E （F ）

是取自该总体的简单随机样本,

为样本均值, 为

从而可得当r=l时, 只要

就有

在其他场合, 不存在.

当r=2时, 只要

就有

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5． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

即

6． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

7． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

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都服从区间（0，1）

又

由

知

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

有

再由本节第3题知

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

也是常数, 故有

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般