当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

注意到

可得

2． 设f 在[a, b]上连续, 证明:存在一点<

, 使得

【答案】由连续函数的最大、最小值定理知, f （x ）在[a, b]上有最小值和最大值. 设其最小值为m , 最大值为M. 于是

. 由

和

得

由介值性定理知, 存在 3． 设

且

【答案】

由

为

上的连续函数列, 满足

证明

在

上一致收敛. 知, 对任意

的

第 2 页，共 30 页

, 作正则变换, 区域D 变为, 如果变换

, 另有一组正数满足..

, 使得

存

在有

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

又由有

由开覆盖定理, 存在注意到对于每一个则对任意的从而

4． 按定积分定义证明:

【答案】

对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

根据定积分定义有

5． 证明:设

则

甶D 上无界的充要条件是存在

所以

当 有

这说明

仍收敛，其中

使时, 有

的任一分割

, 任取

相应的积分

为[0, 1]上的连续函数列, 故存在

的开区间族

使得

为单调递增数列,

现令存在

有

对任意的

由此得到满足上述要求的覆盖

【答案】充分性 因为

这说明时, 存在点

6． 设正项级数

【答案】令

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

有

收敛，证明：级数

则

必要性 因为因此

, 当取

对上式两边取极限得

7． 设

（1）（2）

为有界数列, 证明:

s

第 3 页，共 30 页

所以级数收敛到

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（3）若, 则

（4）若

’则为有界数列知.

也是有界数列, 故

并存在子列

与. 使得时有

, 即

存在N , 使得

当

时,

有

都存在. 设

并且存在子列

【答案】（1）由于是,

对于, 使得（2）

设

则对任意>0, 存在N , 使得当n>N时有

,

任给

, 存在正整数N ,

使得当

按上极限、下极限的定义有,

由定理知, 对任给

的

于是, 此时有

由上、下极限的保不等式性可得

*

由的任意性可得

即（3）设使得当

时,

有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得’因此

, 又存在另一子列

使得

, 存在正整数N ,

,

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

二、解答题

8． 设函数（f x ）

在

只要对固定的故对上述则当nN 时, 有

, 记n=[x]2N, 因为

即

由式（1）, 有

第 4 页，共 30 页

上一致连续, 且就有

, 有. 试证:（n 为正整数）

,

,

【答案】因为f （x ）在上一致连续,

所以

,

取

且为正整数, 将[0, 1]区间k 等分. 记分点

由已知条件, 对每个

, 当nN 时, 有

. 令

有

,

,

则每个小区间的长度

,

故, 使得

. 再由式（2）, 有

艮P

,